平面上两个不动点f和f '的距离之和等于常数2a (2a >:不动点P的轨迹|FF'|称为椭圆。即:│PF│+│PF'│=2a，其中两个定点F和F '称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离│FF'│称为椭圆的焦距。平面到定点f的距离与到定线的距离之比是常数(定点f不在定线上，常数为小于1的正数)的点集，其中定点f为椭圆的焦点，定线称为椭圆的视准线(定线的方程为x = a ^ 2/c)。椭圆的其他定义可以从椭圆的一个重要性质得到，即椭圆上一点与椭圆短轴上两点连线的斜率的乘积是一个定值:平面上两点连线的斜率的乘积是一个常数K，动点的轨迹是一个椭圆。这时K要满足一定的条件，即椭圆不含斜率的标准方程有两个，取决于焦点所在的坐标轴:1)当焦点在X轴上时，标准方程为:X 2/A 2。b & gt0) 2)当焦点在y轴上时，标准方程为:x ^ 2/b ^ 2+y ^ 2/a ^ 2 = 1(a >:b & gt；0)其中a >: 0，b & gt0。在A和B中，较大的一个是椭圆的长半轴，较短的一个是椭圆的短半轴(椭圆有两个对称轴，被椭圆切割，有两个线段，其中一半分别称为椭圆的长半轴和短半轴或半长半短轴)当A >: B，焦点在X轴上，焦距为2 * (A 2-B 2) 0.5， 以及焦距与长半轴和短半轴的关系:B 2 = A 2-C 2，对准方程为X = A 2/C和X =-A 2/C .还有，如果圆心在原点，标准方程的统一形式。 椭圆的面积是πab。椭圆可以看作是圆在某一方向的拉伸，其参数方程为:x=acosθ，y=bsinθ。标准椭圆在x0，y0处的切线为:XX0/A 2+YY0/B 2 = 1。椭圆的面积公式为S =π(π)×A×B(其中A和B分别是椭圆的长半轴)椭圆周长(L)的精确计算需要积分或无穷级数求和。比如l = ∫ [0，π/2]4a * sqrt(1-(e * cost)2)dt≈2π√((a ^ 2+b ^ 2)/2)[椭圆的近似周长]，其中a为椭圆的长半轴，e为偏心率。椭圆偏心率定义为椭圆上的一个点到某个焦点。e = pf/PL椭圆的对齐方程x = a 2/c椭圆偏心率公式e = c/a (e : 2c)椭圆的焦距:椭圆的焦点与其对应对齐的距离(如焦点(c，0)与对齐x =+a 2/c)， 数值= b 2/c椭圆焦半径公式| pf1 | = a+ex0 | pf2 | = a-ex0椭圆右焦半径r=a-ex左焦半径r=a+ex椭圆路径:垂直于焦点X轴(或Y轴)的一条直线与椭圆的两个交点A、B的距离，数值= 2b 0)椭圆x 2/a 2+y 2/b 2 = 1在圆内:x0 2/a 2+y0 2/b 2 < 1在圆内:x0 B^2=1 ②从① ②可以推导出X 2/A 2+(KX+M) 2/B 2 = 1相切△=0距离△ < 0相交无相交△ > 0弦长公式可以用:A(x1，y1) B(x2 y2)| ab | = d =√(1+k2)| x1-x2 | =√(1+k2)(x1-x2)2 =√(1+1/k2)| y1-y2 | =√(1+1/k2)公式:2b 2/a椭圆的斜率公式通过椭圆上一点(x，y)的切线斜率x ^ 2/a2+y ^ 2/B2 = 1，这是-(b ^ 2)x/(a ^ 2)y双曲线:数学上是指一个动点在平面上运动， 2c)称为双曲线。这两个固定点F1、F2称为双曲线的左右焦点。两个焦点之间的距离称为焦距，其长度为2c。坐标轴上2a的端点称为顶点，C 2 = A 2+B 2 (A =长轴，b=短轴)1。语言的定义:平面内动点到定点与定线的距离之比是大于1的常数。它是定点双曲线的焦点，定线是双曲线的准线，常数e是双曲线的偏心率。2.集合语言的定义:设双曲线有一个动点M，一个不动点F，点M到一条不动线的距离为D，则集合{m || MF |/d = e，e >；1}表示的点集是双曲线。注意:固定点f应在固定线之外，比值应大于1。3.标准方程假设不动点M(x，y)，不动点F(c，0)，点M到固定线L的距离:x = a ^ 2/c为d，则| MF |/d = e >；1.推导出的双曲线的标准方程是(x 2/a 2)-(y 2/b 2) = 1，其中a >: 0，b & gt0，C 2 = A 2+B 2。这是一个双曲标准方程，中心在原点，焦点在X轴。中心在原点，焦点在Y轴的双曲标准方程为:(Y 2/A 2)-(X 2/B 2) = 1。1.轨迹上一点的范围:2。对称性:关于坐标轴和原点的对称性。3.顶点:A(-a，0)，A'(a，0)。同时，AA '称为双曲线的实轴，oaa' │ = 2a.b (0，-b)，B'(0，B)。同时BB '称为双曲线的虚轴且│ bb' │ = 2b.4 .渐近线:焦点在x轴上:y = (b/a) x .焦点在y轴上:y = (a/b) x .圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e >时；当1时，表示双曲线。其中p是焦点到准线的距离，θ是弦和X轴之间的角度。如果1-ecosθ=0，可以得到θ，这就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e)设θ=0，且ρ=ep/1-e，x=ρcosθ=ep/1-e设θ=PI，且ρ=ep/1+e，x=ρcosθ=-ep/1+e为双曲线不动点的横坐标。求它们中点的横坐标(双曲线中心的横坐标)x = [(EP/1-E)+(-EP/1+E)]/2(注意简化)。直线ρ cos θ = [(EP/1-E)+(-EP/1+E)]/2是双曲线的对称轴。注意，与将这条线顺时针旋转π/2-arccos(1/e)得到渐近线方程无关，如果旋转角度为θ′，θ′=θ-[π/2-arccos(1/e)]，θ=θ′+[π/2-arccos(1/e)]带入上式:ρcos {θ′+[π/2-arccos(1/e)]。E)-θ′]=[(EP/1-E)+(-EP/1+E)]/2现在你可以替换公式中的θ′得到方程:ρsin[arccos(1/E)-θ]=[(EP/1-E)+(-EP/1+)+∞。第二种定义:双曲线上P点到固定点F的距离│PF│与P点到固定线(对应对齐)的距离D之比等于双曲线的偏心率。点e. d (│PF│)/d直线(P点到一条固定直线的距离(对应对齐))=e 6、双曲线的焦半径公式(圆锥曲线Y上任意一点P(x)到焦点的距离)右焦半径:r=│ex-a│左焦半径:r=│ex+a│ 7、等边双曲线-双曲线的实、虚轴长度，即2a=2b和e=√2 8、 共轭双曲线双曲线S '当其实轴为双曲线S的虚轴，虚轴为双曲线S的实轴时称为双曲线S '几何:S: (x ^ 2/a ^ 2)-(y ^ 2/b ^ 2)= 1s ':(y ^ 2/b ^ 2)-(x ^ 2/a ^ 2)= 1特征:(1)公共渐近线(2)等焦距(3)光程长:(在圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)D = 2b ^ 2/a11， 以及过焦点的弦长公式:D = 2pe/(1-e 2cos 2θ)或2p/sin^2θ [p P为焦点到准线的距离，θ为弦与x轴的夹角] 12。 弦长公式:d = √( 1+k ^ 2)| x1-x2 | =√(1+k ^ 2)(x1-x2)2 =√(1+1/k ^ 2)| y1-y2 | = √( 1+1得到y1-y2 = k(x1-x2)或x1-x2 = (y1-y2)/k，将它们代入两点间的距离公式:| ab | = √ [(x1-x2)+(y1-y2)]。稍微整理一下就可以得到|AB| = | x1-x2 | √ (1+k)。Y1-Y2 | √ (1+1/k)【编辑本段】双曲线与反比例函数x 2/a 2-y 2/b 2 = 1 (a >: 0，b & gt0)反比例函数的标准形式是xy = c (c ≠ 0)，但是反比例函数确实是通过旋转双曲线函数得到的，因为xy = c的对称轴是y=x，y=-x，X ^ 2/A ^ 2-Y ^ 2/B ^ 2 = 1的对称轴是X轴，所以Y轴要旋转45度。设旋转角度为a(顺时针a≠0)(a为双曲线递进线的倾角)，则x = x cosa+ysina y =-xsna+y cosa，若a = π/4，则x ^ 2-y ^ 2 =(xcos(π/4)+ysin(π/4))2-(xsin(π/4)-。2 =(√2/2x+√2/2y)2-(√2/2x-√2/2y)2 = 4(√2/2x)(√2/2y)= 2xy。而xy = c so x ^ 2/(2c)-y ^ 0)y^2/(-2c)-x^2/(-2c)= 1(c & lt；0)由此可知，反比例函数实际上是一个双曲函数。只是平面直角坐标系中双曲线的另一种形式。