初中数学:理解平分线的性质是为了中考加分!
角平分线的性质;
如果一条射线是一个角的平分线,它就把这个角分成两个相等的角。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
如图所示,即PB=PA
为什么?
我们一起来验证一下。
以OP为轴,反折得到OA=OB。
在△BOP和△AOP中
OA=OB
∠∠BOP =∠AOP
OP=OP,
∴△BOP≌△AOP(SAS)
∴PB=PA
我们在做题的时候,当我们知道角平分线上的点与角的两边的距离相等的时候,在问题中就不需要证明它们为什么相等了。这就是角平分线的性质。
让我们来看看这个例子:
【例2】(1)证明三角形三个角的平分线相交于一点。
很难证明三个角相交于一点,但两条不平行的直线相交于一点。
如图:OA为∠A的平分线,OB为∠ B的平分线,它们不平行,即相交于O点,若∠C的角平分线OC也与O点相交,则三角形三个角的角平分线相交于一点。
实际已知∠1=∠2,∠3=∠4,验证为∠5=∠6。
既然是角平分线,那我们就先利用角平分线的性质来解题,看看能否解出来。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
OP⊥AB,ON⊥BC,OM⊥AC也分别如此,垂足分别为p、n、m点。
在△APO和△AMO
∠1=∠2
APO=∠AMO=90度
AO=AO
∴△APO≌△AMO(AAS)
∴OP=OM
同样△BPO?△BNO(AAS)
∴OP=ON
∴OM=ON
在△COM和△CON中
CNO=∠CMO=90度
OM =开
CO=CO
∴△COM≌△CON(HL)
∴∠5=∠6
∴三角形三个角的平分线相交于一点。