初中数学:理解平分线的性质是为了中考加分!

角平分线的性质;

如果一条射线是一个角的平分线,它就把这个角分成两个相等的角。

角平分线上的点到角两边的距离相等。

如图所示,即PB=PA

为什么?

我们一起来验证一下。

以OP为轴,反折得到OA=OB。

在△BOP和△AOP中

OA=OB

∠∠BOP =∠AOP

OP=OP,

∴△BOP≌△AOP(SAS)

∴PB=PA

我们在做题的时候,当我们知道角平分线上的点与角的两边的距离相等的时候,在问题中就不需要证明它们为什么相等了。这就是角平分线的性质。

让我们来看看这个例子:

【例2】(1)证明三角形三个角的平分线相交于一点。

很难证明三个角相交于一点,但两条不平行的直线相交于一点。

如图:OA为∠A的平分线,OB为∠ B的平分线,它们不平行,即相交于O点,若∠C的角平分线OC也与O点相交,则三角形三个角的角平分线相交于一点。

实际已知∠1=∠2,∠3=∠4,验证为∠5=∠6。

既然是角平分线,那我们就先利用角平分线的性质来解题,看看能否解出来。

角平分线上的点到角两边的距离相等。

OP⊥AB,ON⊥BC,OM⊥AC也分别如此,垂足分别为p、n、m点。

在△APO和△AMO

∠1=∠2

APO=∠AMO=90度

AO=AO

∴△APO≌△AMO(AAS)

∴OP=OM

同样△BPO?△BNO(AAS)

∴OP=ON

∴OM=ON

在△COM和△CON中

CNO=∠CMO=90度

OM =开

CO=CO

∴△COM≌△CON(HL)

∴∠5=∠6

∴三角形三个角的平分线相交于一点。